2006年03月20日

2006年度四天王寺中入試解説2

親記事:2006年度四天王寺中入試解答
問題B
[1](1)☆

(2)☆
6m^3=6000000cm^3
480/6000000=0.00008 →0.008%

(3)☆☆
公約数=最大公約数の約数 …理解度の個人差が大きいポイントの一つです.
936と1152の最大公約数は72
72=(2*2*2)*(3*3) より,72の約数は(3+1)*(2+1)=12個

[2]☆☆
1辺の長さによって場合分けし,左から右,上から下というように秩序正しく数えることが大切です.
1辺の長さが
1の正方形は,30個
2の正方形は,4+4+4+4+3=19個
3の正方形は,2+3+3+2=10個
4の正方形は,1+2+1=4個
合計30+19+10+4=63個

[3](1)☆☆
直径ABの円から対角線ABの正方形を除いたときに残る4つの部分のうちの1つ.
(1*1*3.14-2*2/2)/4=0.285cm^2

(2)☆☆06四天王寺B3-2.gif
図のように等積変形する.
直径2cmの円から(1)で求めた0.285cm^2を3つ分除いた図形が2つあるから,
(1*1*3.14-0.285*3)*2=4.57cm^2

[4](1)☆
2006/18=111.44…の整数部分は111

(2)☆☆
□[3+P]=15より,
(3+P)*2=(15以上16未満)
3+P=(7.5以上8未満)
P=(4.5以上5未満)

(3)☆☆☆
そのまま計算できるところをまず計算する.
□[10-5+○(5.5+4)+2*Q+5/6]=89
□[14+2*Q+5/6]=89
□[R]=○(2*R)だから,
○(28+4*Q+5/3)=89
ここで,28と4*Qは整数,5/3の整数部分は1だから,
28+4*Q+1=89
Q=15

[5](1)☆☆
角の二等分線の定理の流用(?)ですね.個人的にはあまり好きな出題の仕方ではありません....

∠BAD=∠CADより,BD:DC=AB:AC=5:6

(2)☆☆☆☆
△ABF:△FAC=5:6,△ABF:△FBC=5:7から連比を作ると(2)と(3)が同時に解けますが,その場合(3)の方が先に答えが出ます.ここでは出題者の意図?に乗ってみます.

AE:EC=AB:BC=5:7より,AE=6/(5+7)*5=2.5cm
△ABEにおいて,EF:FB=AE:AB=2.5:5=1:2
△FAC:△ABC=EF:EB=1:3

(3)☆☆☆☆
EF:FB=1:2より,△FAC=<1>とすると△ABF:△CBF=<2>
△ABF:△FBC=AE:EC=2.5:(6-2.5)=5:7
△FBC=<2>/(5+7)*7=<7/6>
△FAC:△FBC=<1>:<7/6>=6:7

[6](1)☆☆☆
家-学校間は毎時4kmで8:05-7:50=15分かかる距離だから1km
これを毎時6kmでいくと,1/6*60=10分かかる.
A君が家から忘れ物に気づいた地点まで往復するのに15-10=5分=1/12時間かかったことになる.
1kmあたりにかかる往復時間は,行きが毎時4km,帰りが毎時6kmの速さだから,1/4+1/6=5/12時間
したがって,A君が往復したのは(1/12)/(5/12)=0.2km=200m

(2)☆☆☆☆
(1)での到着時間8:05と実際の到着時間8:03の差は2分.
これは,A君がお母さんが出会った地点と家の間をも毎時6kmで往復していれば2分かかるということ.
片道なら1分だから,A君がお母さんに出会ってから学校までかかる時間は10-1=9分.
したがってA君とお母さんが出会ったのは8:03-9分=7:54
お母さんが進んだ距離は,6*(1/60)=0.1km
これを毎時9kmで進むには,0.1/9=1/90時間=2/3分=40秒かかる.
7:54-40秒=7:53:20

[7](1)☆☆☆
道1本分を進むのにPは3秒,Qは2秒かかるから,同時間に進む道の数の比は2:3
2点が出会う,つまりQがPより道4本分多く進むのは,Pが4/(3-2)*2=8本進んだとき.
3*8=24秒後

(2)☆☆☆
Pが3周する(3+2+1)*(4*3/3)=24秒後までで考える.
Pが内側から辺に移るときにQと出会ったときのみ,そのまま2秒間一緒に動くことができる.
それが最初に起こるのはPが出発してから3秒後.
P,Qとも道3本分進むには6秒かかるから,以後6秒ごとに同じ状況になる.
つまり3, 9, 15, 21秒後の4回で,2*4=8秒間

(3)☆☆☆☆
Pが10周する(3+2+3+2)*10=100秒後までで考える.
2点が同じ道を通ることはないから,出会うのは頂点でのみ.

Pが各頂点を通るのは,
A: 0, 10,…
B: 3, 13,…
C: 5, 15,…
D: 8, 18,… (秒後)

Qが各頂点を通るのは,
A: 0, 6,…
B: 4, 10,…
C: 3, 9,…
D: 1, 7,… (秒後)

2点が
Aで会うのは,10と6の公倍数をとって30, 60, 90秒後
Cで会うのは,5と3の奇数の公倍数をとって15, 45, 75秒後
B, Dで会うことはない.
したがって計6回.
posted by カイト at 01:54| Comment(2) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:四天王寺 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年03月15日

2006年度四天王寺中入試解説1

親記事:2006年度四天王寺中入試解答

解説
問題A
[1](1)-(3)☆

[2]☆☆
6本入りと24本入りの箱に入っている色鉛筆の平均の本数は,箱の数が同数であることから(6+24)/2=15本
平均15本入りと12本入りが計20箱,276本ということになる.
つるかめ算の考え方を用いて12本入りの箱の数を求めると,
(15*20-276)/(15-12)=8箱

[3](1)☆
半径10cmの円の1/10だから,
弧の部分:20*3.14*(1/10)=6.28cm
直線部分:10*2=20cm
全体では,6.28+20=26.28cm

(2)☆☆☆
図形nは図形1に対して,半径がn倍,中心角が(1/n)倍.
図形nの面積は図形1の面積のn*n*(1/n)=n倍になる.
したがって,図形24の面積の2/3は,図形1の面積の24*(2/3)=16倍
これと面積が等しいのは図形16.

[4]☆☆☆
長方形が2枚重なっている部分は3箇所とも,一辺が2cmのひし形.
また,そのひし形の周りにある直角三角形はすべて,一辺2cmの正三角形を二等分したもの.
影の部分からひし形を除いてできる2つの台形は,
上底(内側の正三角形の一辺)が10-(1+2+2+1)=4cm
下底が10-(2+2)=6cm
台形の面積は図1の長方形の横幅(4+6)/2=5cm分.
ひし形は(平行四辺形とみて)横幅2cm分だから,全体では5*2+2=12cm分
12/10=1.2倍

図2のように同じ長方形を3枚重ねると正三角形ができます.したがって,角度を考えるとひし形の周りにある直角三角形が正三角形を二等分したものになるのは当然であり,直角三角形の2辺の長さが示されているのは条件過多です.

[5](1)☆
2進法.左側から1の位,2の位,4の位…となる.
1+4+16=21

(2)☆☆
●○○●●○○○=1+8+16=25
●○○●○●●○=1+8+32+64=105
25+105=130をこの2進法に変換すると,○●○○○○○●

2進法の足し算(11001+1101001=10000010)をしてもよいでしょう.

(3)☆☆
今表せるのは8桁までの2進数.
もし次の9桁目があるとすると,これは2*2*2*2*2*2*2*2=256の位.
したがってその直前の256-1=255までは8桁で表せる.

[6](1)☆☆
上下左右の4方向からは,それぞれ11個ずつ正方形が見える.
前後の2方向からは,1+2+…+11=66個ずつ正方形が見える.
影になっている部分はないから,表面積は
10*10*(11*4+66*2)=17600cm^2

(2)☆☆☆
糊付けする前の立方体66個分の表面積は,
10*10*6*66=39600cm^2
糊付けによって外から見えなくなった部分は,
39600-17600=22000cm^2
糊は貼り合わせる2面のうちの片方だけに塗ればいい.糊を塗った部分の面積は,22000/2=11000cm^2
糊は1gあたり100cm^2だから,11000/100=110g

直接糊を塗った部分の面積を求めてもよい(水平方向と垂直方向にそれぞれ正方形55個分ずつ)ですが,上記の求め方は本問より複雑な立体になっても応用がきくのでおさえておくとよいでしょう.

(3)☆☆☆☆06四天王寺A6-3.gif
切断されてできた立体は,辺BCに垂直な面を底面とする三角柱または四角柱になる.
したがって,図のように右方向から見たとき(縦横比率は実際とは異なる)の底面積を考えれば十分.
500cm^2は立方体の体積1000cm^2の1/2であるから,底面積が正方形の1/2以上になるのが何段目かを考えればよい.
Aを含む立体11段のうち,真ん中の上から6段目(緑部分)は正方形のちょうど1/2の面積になっている.
したがって,上から5段目まで(オレンジ部分)は各段とも正方形の1/2より小さく,7-11段目(青部分)は各段とも正方形の1/2よりも大きい.
求めるのは青部分にある立方体の数ということになる.
7+8+9+10+11=45個

[7](1)☆☆☆
C>B(CがBよりゴールに近い状態)からB>Cになるのは,つまりBがCを追い抜くのは,
(92-88)/(4-2)=2秒後
B>AからA>Bになるのは,(124-92)/(8-4)=8秒後
C>AからA>Cになるのは,(124-88)/(8-2)=6秒後
求めるのはB>A>Cだから,
B>Cより2秒後以降,B>Aより8秒後以前,A>Cより6秒後以降.
つまり6秒後から8秒後までとなる.

(2)☆☆☆
BとCは出発後2秒後に重なるが,その位置はAのスタート位置から
(124-92)+4*2=40cm離れている.
Aがその40cmを移動するには40/8=5秒かかるから,
BとCが出発するよりも5-2=3秒早く出発したことになる.

(3-1)☆☆☆☆
点Cのシャドー(点Cの動く目標)点Dをおく.つまり,点Dは,点Dと点Aの真ん中に常に点Bがいるように動く.
Dはスタート時には,ゴールから92-(124-92)=60cmのところにいる.
そしてDはこの位置から動かない.(1秒後のAとBの位置からDの位置を考えるとわかりやすいでしょう.)
各点のゴールからの距離と速さをまとめると下の表の通りになる.(@nは毎秒ncmであること,B→CはBがCに追いつくことを表す.)

秒| 0 (B→C) 2 (A→B) 8 (B→C) 10 12
A | 124 (@8) 108 (@8) 60 (@ 8) 44 (@ 8) 28
B | 92 (@4) 84 (@4) 60 (@12) 36 (@12) 12
C | 88 (@2) 84 (@6) 48 (@ 6) 36 (@18) 0

求めるのはCとDが重なるとき,つまりCがゴールから60cmのところにきたときだから,
2+(84-60)/6=6秒後

(3-2)☆☆☆☆
(3-1)の表より,12秒後

点の動きが今はやりのカーリングっぽいですね.別にビリヤードでもいいんですが....
posted by カイト at 22:54| Comment(2) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:四天王寺 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年度四天王寺中入試解答

2006年度四天王寺中入試問題

解答
問題A
[1](1) 6 (2) 1.5 (3) 0.15
[2] 8箱
[3](1) 26.28 (2) 16
[4] 1.2倍
[5](1) 21 (2) ○●○○○○○● (3) 255
[6](1) 17600cm^2 (2) 110g (3) 45個
[7](1) 6秒後から8秒後まで (2) 3秒 (3-1) 6秒後 (3-2) 12秒後

問題B
[1](1) 429 (2) 0.008 (3) 12
[2] 63個
[3](1) 0.285cm^2 (2) 4.57cm^2
[4](1) 111 (2) 4.5, 5 (3) 15
[5](1) 5:6 (2) 1:3 (3) 6:7
[6](1) 200m (2) 7時53分20秒
[7](1) 24秒後 (2) 8秒間 (3) 6回
posted by カイト at 13:31| Comment(1) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:四天王寺 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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