2006年04月02日

2006年度洛南高校附属中入試解説([5]-[8])

2006年度洛南高校附属中入試問題
2006年度洛南高校附属中入試解答

[5](1)☆☆☆☆
1回のジャンケンで2人の移動する段数の和は,
勝負がついたとき,+3段と-2段で計+1段.
引き分けたとき,-1段と-1段で計-2段.
これを合わせて28回行った結果,移動した段数は+8段と-7段で計+1段になった.
つるかめ算により-2段(引き分け)の回数は,
(28*1-1)/(1+2)=9回

1回のジャンケンで引き分けたとき,2人の位置関係は変わらない.
勝負がついたときは,+3段と-2段の差で5段分変わる.
ゲームが終わったとき,太郎君は次郎君より15段上にいた.
したがって勝負がついた28-9=19回のうち,15/5=3回太郎君は次郎君よりも多く勝ったことになる.
(19+3)/2=11回

(2)(ア)☆☆☆☆
(1)より,ゲームが終わったとき,次郎君の勝ちは負けよりも3回多い.
次郎君の(勝ち,負け,引き分け)の回数の組は次の4通り考えられる.

(勝ち3,負け0,引き分け7) →ゲーム終了時もとの位置の2段上
(勝ち4,負け1,引き分け5) →ゲーム終了時もとの位置の5段上
(勝ち5,負け2,引き分け3) →ゲーム終了時もとの位置の8段上
(勝ち6,負け3,引き分け1) →ゲーム終了時もとの位置の11段上

次郎君はゲーム終了時もとの位置の10段以上上にいることから,勝ちは6回と決まる.

06洛南5-2.gif(イ)☆☆☆☆☆
○6個とX3個と△1個の並び方を求める.
並び方の条件は以下の2つ.

【条件A】
10個の記号を並べる途中で,XがOより多くなることはない.
「次郎君は太郎君より下の段になることはなかった」ことから.

【条件B】
10個目を並べたときを除き,OはXより3個以上多くなることはない.
OがXより3個多くなるとゲームが終わってしまうことから.

求める並び方は,右図の左下から右上まで,実線部分だけを通り,青点のどれかで1回だけ休んで最短距離で進む道順に置き換えられる.
(横方向はO,縦方向はX,休みは△に相当.
緑部分は条件Aにより,赤部分は条件Bにより除外される.
右上だけ青点がないのも条件Bによる除外.)

休みを考えなければ8通り.
1つの道順につき休む箇所は9通りあるから,全部で8*9=72通り

06洛南6.gif[6](1)☆☆☆
Pの下りの速さは,(6-1)/30*60=10km/h
PがBに着いたのは,6/10*60=36分後
PがQを追い越した(右図a)のは36+24+30=90分後で,Bから90/30*1=3kmの位置
Pの上りの速さは,3/30*60=6km/hとなる.
したがって,川の流れの速さは(10-6)/2=2km/h

(2)☆☆☆☆
右図で,黄色と水色の三角形は相似.
相似比は,ab間(ア):de間(ウ)=3:2
したがって,ac間:ce間=3:2となる.
ae間は6-3=3kmだから,3/(3+2)*2=1.2km

(3)☆☆☆☆
Qはae間3kmを90分で進む.
Pはab間(ア)とde間(ウ)を6km/h,bd間(イ)を-2kmで進み,合計1.5時間で3km進んだことになる.
つるかめ算でイの時間を求めると,
(6*1.5-3)/(6+2)=0.75時間=45分

(4)☆☆☆☆
(3)より,ア+ウ=1.5-0.75=0.75時間=45分
ア:ウ=3:2より,45/(3+2)*3=27分

[7](1)☆☆
3種類の数字を4つ並べる場合の数だから,3*3*3*3=81個

(2)☆☆☆
数列A: 2222, 2223, 2225, 2232,…
2を0,3を1,5を2に置き換えると3進数の列になる.
数列B: 0000, 0001, 0002, 0010,…
これを10進数に変換すると,
数列C: 0, 1, 2, 3,…

50番目の数はCで50-1=49
Bでは,49を3進数に変換して1211
Aでは,1211の1を3, 2を5に置き換えて3533

(3)☆☆☆☆
下3桁が8の倍数のものを求める.
並んでいる数に現れるのはX232, X352, X552の3種類.
Xには2, 3, 5が当てはまるから,3*3=9個

(4)☆☆☆☆
並んでいる数を掛け合わせた数が10で何回割れるか,つまり2と5で1回ずつ割るのが何回できるかを求める.
2よりも5で割れる回数の方が少ないから,後者を求めれば十分.

5の倍数は下1桁が0か5.
並んでいる数に現れるのはXXX5のみで3*3*3=27個
25の倍数は下2桁が00, 25, 50, 75.
並んでいる数に現れるのはXX25のみで3*3=9個
125の倍数は下3桁が000, 125, 250,…, 875.
並んでいる数には現れない.
したがって,5では27+9=36回割れる.
10でも36回割れることになり,0は一の位から36個並ぶ.

06洛南8.gif[8](1)☆☆☆
PとQが辺の中点であることから,
上図の2つの三角錐の相似比は1:2,体積比は1:8
緑の三角錐の底面積は直方体の底面積の1/8で,高さ(青線)は等しい.
緑の三角錐の体積は直方体の(1/8)*1*(1/3)=1/24倍
黄色い三角錐台の体積は緑の三角錐の体積の7倍だから,1/24*7=7/24倍

(2)☆☆☆☆
下図の青い長方形を<1>,赤い長方形を[1],水色の長方形を(1)とする.
操作2より,容器が水と触れている面積は,
<2*7/24>+[2*7/24]+(1)=<7/12>+[7/12]+(1)=36.5 ※1
操作3より,<1>+[7/12]+(7/12)=39 ※2
操作4より,<7/12>+[1]+(7/12)=41.5 ※3

※1〜3を加えると,
<13/6>+[13/6]+(13/6)=117
<1>+[1]+(1)=117/(13/6)=54 ※4
容器の6つの面の面積の合計は,<2>+[2]+(2)=108cm^2

(3)☆☆☆☆
<7/12>+[7/12]+(1) =36.5 ※1
<7/12>+[7/12]+(7/12)=31.5 (※4)*7/12
より,
(5/12)=5
(1)=12cm^2

(4)☆☆☆☆
(3)と同様にして,<1>=18cm^2,[1]=24cm^2
3*4=12, 3*6=18, 4*6=24より,直方体の3辺は3cm, 4cm, 6cm
3*4*6=72cm^3

後半の問題は私には好印象,よく考えて作られていると思います.
共学化と1日入試化で動向が注目された今年の洛南.下馬評はいろいろありましたが結局難化と出ました.共学での進学校という方向性に合致しており,来年もこの難度を維持してくるのではないかと思います.
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2006年03月22日

2006年度洛南高校附属中入試解説([1]-[4])

2006年度洛南高校附属中入試解答

解説
[1](1)-(4)☆☆☆☆
(3)は分子の和が111*(1+3+5+7+9)であることに気づけるといいですね.

(5)☆
1日4時間48分=28時間48分=1728分=103680秒
103680/1440=72秒=1分12秒

1440=60*24から28時間48分/1440=28分48秒/24と簡単にできることに気づくと楽です.
[1]は基本的に工夫して楽に解こうという趣旨の問題で構成されているので,本問も学校側の意図はおそらくこちらでしょう.
06洛南1-6.gif
(6)☆☆
円に内接する2つの正方形を回転させて等積変形すると,右図のように直角三角形が2つできる.
大きい方の直角三角形の面積は,2*2/2=2cm^2
小さい方の直角三角形の面積は,大きい方の面積の1/2だから2/2=1cm^2
(または青い正方形の面積の1/8だから4*4/2/8=1cm^2)
全体では,2+1=3cm^2

[2](1)☆☆☆
男子,女子とも5%=1/20が100点であった場合との差異を考える.
全体の1/20-1/21=1/420が女子の5-4=1%にあたる.
女子の人数は全体の(1/420)/0.01=5/21
したがって男女比は,(1-5/21):5/21=16:5

(2)☆☆☆☆
女子生徒の4%は,全体の(5/21)*0.04=1/105
男子生徒の5%は,全体の1/21-1/105=4/105
全体の人数の1/105と4/105が整数にならなければいけないから,全体の人数は105の倍数.
500人以上600人以下という条件から,105*5=525人
06洛南3.gif
[3]☆☆☆☆
Aの秒速を<1>,Bの秒速を[1]とする.
右図より,Aが128-50=78秒間で走る距離は,Bが50秒間で走る距離+Aの長さ60m
つまり,<78>=[50]+60 <39>=[25]+30 …※1
Bが86-50=36秒間で走る距離は,Aが50秒間で走る距離+Bの長さ80m
つまり,[36]=<50>+80 [18]=<25>+40 <25>=[18]-40 …※2

※1の4倍 <156>=[100]+120
※2の3倍  <75>= [54]-120 と定数部分をそろえて和をとると,
<231>=[154] <3>=[2]

※1より,[26]=[25]+30 [1]=30 <1>=20
したがってAの速さは20m/秒
橋の長さは,<50>+[50]=30*50+20*50=2500m

[4](1)☆☆
AH=2cm, DH=CF=4cm, BF=6cm
台形ABFH=(2+6)*12/2=48cm^2
△AEH=△ABH*(3/4)=9cm^2
△BEF=△BAF*(1/4)=9cm^2
△EFH=48-(9+9)=30cm^2

(2)☆☆☆
△GFH=平行四辺形FCDH*(1/2)=24cm^2
EI:IG=△EFH:△GFH=30:24=5:4

(3)☆☆☆
△EJH=四角形AEJH-△AEH=18cm^2
△EJF=△EFH-△EJH=12cm^2
HJ:JF=△EJH:△EJF=3:2

HJ:JF:HF=3:2:5,DG:GC:DC=1:1:2
平行四辺形の性質よりHF=DCだからこの2辺を<10>にそろえると,
HJ=<6>, JF=<4>, DG=GC=<5>
四角形HJGD:四角形JFCG=(DG+HJ):(GC:JF)=11:9
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2006年03月03日

2006年度洛南高校附属中入試解答

2006年度洛南高校附属中入試問題

<1>(1) 9 (2) 2006 (3) 25 (4) 1/9 (5) 12 (6) 3
<2>(1) 16:5 (2) 525人
<3> 毎秒20m, 2500m
<4>(1) 30cm^2 (2) 5:4 (3) 3:2, 11:9
<5>(1) 9回, 11回 (2)ア 6回 イ 72通り
<6>(1) 毎時2km (2) 1.2km (3) 45 (4) 27
<7>(1) 81個 (2) 3533 (3) 9個 (4) 36個
<8>(1) 7/24倍 (2) 108cm^2 (3) 12cm^2 (4) 72cm^3
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