2006年02月28日

2006年度甲陽学院中入試解説5

親記事:2006年度甲陽学院中入試解答

<4>(1)☆☆☆
Aの動いた軌跡は右図の青線部分.
14*(22/7)/6*4=88/3cm


(2)☆☆☆☆
Eの動いた軌跡は右図の緑線と青線の部分.
緑線部分は,半径7のおうぎ形の弧.
青線部分は,半径が正方形の対角線の長さに等しく7/5*7=9.8cmのおうぎ形の弧.
緑線,青線とも中心角は1箇所につき30°
14*(22/7)/12*6+19.6*(22/7)/12*3=37.4cm

<5>(1)☆☆☆
2で割れる回数:
N=1*2*...*249*250の1,2,...,249,250のうち,2の倍数でないものは捨て,2の倍数は2で1回だけ割る.
すると,250/2=125回割れて,1*2*...*125が残る.
以下,同じ操作の繰り返し.10進数をN進数に直すときのようにかくと(いわゆるすだれ算)楽でしょう.
125/2=62.5 62/2=31 31/2=15.5 15/2=7.5 7/2=3.5 3/2=1.5
全部で,125+62+31+15+7+3+1=244回

3で割れる回数:
250/3=83.3... 83/3=27.2... 27/3=9 9/3=3 3/3=1
83+27+9+3+1=123回

(2)☆☆☆☆
3,6,8で1回ずつ割ると(これで1周期),2を計4個,3を計2個消費する.
(1)より2は244個,3は123個あるから,244/4=61,123/2=61.5より61周期まわすことができる.
61周期後,2は全くなくなるが3は123-61*2=1個残るから,62周期目に3で1回割ることができる.
したがって最後に割り切れるのは,61*3+1=184回目

<6>(1)☆☆
Bの高さを<4>とすると,水面の高さは<3>,Aは<3>に3cm不足していることになる.
A+B=60cmより,<1>=(60+3)/(4+3)=9cm
水面の高さは,<3>=27cm

(2)☆☆☆☆
Aの高さは27-3=24cm, Bの高さは<4>=36cmで36-24=12cmの差がある.
AとBが1本ずつ入っている状態で,AとBの水面より上の部分の長さの比は1:7
Aの水面より上の部分は12/(7-1)=2cmだから,水面の高さは24-2=22cm
Aだけが入っている状態での水面の高さは,22-3.52=18.48cm
AとBが入っているときとAだけが入っているときはすべてのおもりが水面から出ているので,
底面積の比は,(水槽-A-B):(水槽-A)=18.48:22=21:25
(水槽-A)を[25]とすると,B=[25]-[21]=[4]となる.
底面積が[21]のとき深さが22cmだから,水の量は,[21]*22=[462]

(1)の場合に戻る.このとき,Aのおもりは水面下に沈んでいる.
{底面積(水槽-A-B-B)で深さ27cm分の水量}+{底面積Aで深さ3cm分の水量}=[462]
{底面積(水槽-A-B-B)で深さ27cm分の水量}=([21]-[4])*27=[459]
Aの底面積=([462]-[459])/3=[1]
AとBの底面積の比は,1:4

甲陽の解説はこれで終わりです.
次回からしばらく,解説は後回しにして数校分の解答が先行する形にする予定です.
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2006年02月24日

2006年度甲陽学院中入試解説4

親記事:2006年度甲陽学院中入試解答

第2日
<1>(1)☆☆☆☆☆
棒を増やすごとに二等辺三角形が付け加わるが,その底角は7°,14°,21°,…と7の倍数になる.
∠XOY=7°,∠OBA=7*4=28°
したがって最大の角は,∠OAB=180-(7+28)=145°

最大の△OABにおいて,Bの先に新たな棒を並べても三角形ができない.
このようなことがおきるのは,Bを中心に半径が棒の長さの円を書いてもA以外で直線Yと交わらないとき,つまり∠OABが初めて90°以下になるとき.
(棒を1本でも減らすと∠OABは90°より大きくなる.)
∠OABが初めて90°以下になるとき,∠OBAは初めて180-(7+90)=83°以上になる.
これは正確には,∠OBA=7*12=84°
したがって最大の角は,∠OAB=180-(7+84)=89°

(2)☆☆☆☆
BC=<1>とすると,AB=<2>
辺ACの通過領域の面積は,
(半径<2>・中心角45°のおうぎ形)-(半径<1>・中心角45°のおうぎ形)
=(半径<2>の円-半径<1>の円)/8
で求められ,これが169.56cm^2=(54*3.14)cm^2にあたる.
半径<2>の円と半径<1>の円の面積比は4:1だから,
半径<1>の円の面積は,(54*3.14)*8/3=(144*3.14)cm^2
<1>=12cm

<2>(1)☆☆☆
5枚のカードを同じ数字が隣り合わないように並べると,同じ数字は最大3枚しか使えない.
したがって,問題で同じ数字のカードが3枚ずつと限定されていることに実質的な意味はない.
そこで同じ数字のカードが無制限にあると考えてよい.
3*2*2*2*2=48個

(2)☆☆☆☆
7枚のカードを同じ数字が隣り合わないように並べると,同じ数字は最大4枚しか使えない.
1と2のカードが4枚ずつ,3のカードが3枚あるから,
(すべてのカードが4枚ずつある場合)から(3のカードを4枚使う場合)を除けばよい.
(1)と同様にすると,(すべてのカードが4枚ずつある場合)は(すべてのカードが無制限にある場合)と等しい.
(すべてのカードが無制限にある場合)-(3のカードを4枚使う場合)
=3*2*2*2*2*2*2-2*2*2=184個

<3>(1)☆☆☆
AE:EB=20:5=4:1より,Pの速度を高さに換算すると,2*1/4=0.5cm/秒
Qの速度を高さに換算すると,8*1/4=2cm/秒
QがPに追いつくのは,Qが出発してから33*0.5/(2-0.5)=11秒後
このときPとQがいる場所の高さは,11*2=22cm

(2)☆☆☆☆
Q出発時のPとQの高さの差は,33*0.5=16.5cm
求めるのは,ここからPとQの高さの差が5*3=15cm, 5*2=10cm, 5cmになるとき.
(16.5-15)/(2-0.5)=1秒後
(16.5-10)/(2-0.5)=13/3秒後
(16.5-5)/(2-0.5)=23/3秒後
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2006年02月22日

2006年度甲陽学院中入試解説3

親記事:2006年度甲陽学院中入試解答

<6>☆☆☆
操作を遡る問題の基本は,図のような樹形図をかいていく方法です.操作の逆を考えるところが甘いと,きちんと遡ったつもりが余計なものが紛れてしまう(余計なものに操作を加えると異なる結果が出てしまう)ので用心が必要です.本問では,樹形図で1個玉を増やすには,元の列の1番目で増やすか最初に2個同じ色が続いている部分の2番目で増やすかの2通りしかありません.(2個以上の列なら,n個の列に対して2^(n-2)通りが考えられることになります.)

答えは樹形図より,(1) 2個 (2) 4個
(3) OOXOX, XOOOX, XXXXX, OXOOX, XXOOO, OXXOO, OOOXX, XOXOO

少しだけ一般化するとこうなります.

A→BはOとXからなる文字列Aが操作終了後に文字列Bになることを表すものとする.
操作の定義より,BはOとXが(OかX単体の場合も含めて)交互に並んだ文字列になる.

【m→n】は操作前が長さm,操作後が長さnの列であることを表すものとする.
ただし,「長さ」は文字列に含まれる文字の数を表す.

Bの最後の文字をs, sではない方の文字をtとする.(s=Oならt=X, s=Xならt=O)
Bの最初の文字ではない方の文字をkとする.

長さmの文字列の操作終了後の形がわかっているとして,その最後にOかXを加えて長さ(m+1)の文字列とその操作終了後の形のセットを作ることを考える.

A→Bが【m→n】であるとき,

At(Aの最後にtを加えたもの)は操作終了後Btになる.
つまり,At→Btは【(m+1)個→(n+1)個】

As(Aの最後にsを加えたもの)は,操作中にBsになった後,後ろからパタパタ…とドミノ倒し状態にm回操作が加えられ(例えば,OXOXX),操作終了後はkになる.
つまり,As→kは【(m+1)個→1個】

文字列と操作の結果のセットを作っていくイメージはこんな感じです.
下方向に進むのがAt→Btタイプ.(例えば【1→1】から【2→2】)
それでは作れない【(n+1)→1】を上の段全てを使って作るのがAt→Bsタイプ.

【1→1】
【2→2】【2→1】
【3→3】【3→2】【3→1】
【4→4】【4→3】【4→2】【4→1】
【5→5】【5→4】【5→3】【5→2】【5→1】

長さ4まで実際に作ってみました.

【1→1】O→O,X→X
【2→2】OX→OX,XO→XO
【2→1】OO→X,XX→O
【3→3】OXO→OXO,XOX→XOX
【3→2】OOO→XO,XXX→OX
【3→1】OXX→X,XOO→O,OOX→O,XXO→X
【4→4】OXOX→OXOX,XOXO→XOXO
【4→3】OOOX→XOX,XXXO→OXO
【4→2】OXXO→XO,XOOX→OX,OOXX→OX,XXOO→XO
【4→1】OXOO→X,XOXX→O,OOOO→O,XXXX→X,OXXX→O,XOOO→X,OOXO→X,XXOX→O

自分としては満足したので長さ5はパス…
posted by カイト at 17:28| Comment(0) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:甲陽 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年度甲陽学院中入試解説2

親記事:2006年度甲陽学院中入試解答

<4>(1)☆☆
1周目に取り除くのは,1, 3, 5, …, 99の50個.
2周目に取り除くのは,4, 8, …, 20の5個.
したがって,20は50+5=55番目.

(2)☆☆☆☆
2の累乗枚(2枚,4枚,8枚,…)残っているときには,最後に並んでいるカードが残る.
これは,1周目では2の倍数を残すように,2周目では4の倍数を残すように,3周目には8の倍数を残すように,…と取り除いていくから.
例えば1〜8の8枚なら,1, 3, 5, 7, 2, 6, 4の順に取り除いて8が残る.

この事実から,99枚のカードの場合は,カードを99-64=35枚取り除いて残り64枚になった時点での最後のカードを求めればよいことになる.
最初の1周で取り除くのは1, 3, 5, …だから,35番目は2*35-1=69
次に取り除くのは71だから,35枚取った時点でのカードの並びは,
72, 74, …,98, 2, 4, 6, …, 70
したがって,最後に残るのは70

<5>(1)☆☆☆
板Xの影の一辺は,10*AB/AP=30cm
板Yの影の一辺は,30*AB/AM=45cm
2枚を合わせると,スクリーン上の影は右図の灰色部分になる.
45*45+30*(30-45/2)=2250cm^2

(2)☆☆☆☆
板Xの影が板Yの影を覆うとき,影は右図の灰色+赤の領域で面積は50*60=3000cm^2
求める2790cm^2のときはそれ以前の灰色の部分のみになる.
□=(3000-2790)/(50*2-30)=3cm
板Xの影の横の長さが60-3*2=54cmのときということになる.
AM:AB=30:54 AB=60より,AM=100/3cm
posted by カイト at 14:32| Comment(0) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:甲陽 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2006年02月21日

2006年度甲陽学院中入試解説1

親記事:2006年度甲陽学院中入試解答

解説
<1>(1)☆

(2)☆☆
8個の点から3個を選ぶのは8C3=56通り
そのうち,三角形ができないものが2つある;辺AB上の3点を選ぶときと辺BC上の3点を選ぶとき.
したがって三角形ができるものは,56-2=54通り

(3)☆☆☆
すべて不正解は0人,3番のみ正解が3人,2番のみ正解は5人,すべて正解が6人.
これを下のような表に整理する.数字とアルファベットは正解,Xは不正解を表す.数字はその列に該当する人数を表す.

1番(50点)|6 A B C X X X |30
2番(30点)|6 A X X D 5 X |24
3番(20点)|6 X B X D X 3 |23

このとき,
1番の行より,A+B+C=30-6=24…<1>
2番の行より,A+D=24-(6+5)=13…<2>
3番の行より,B+D=23-(6+3)=14…<3>
50点(1番のみ正解or1番のみ不正解)が15人だから,C+D=15…<4>
<1>〜<4>から,D*3=(13+14+15)-24=18 D=6
70点の生徒の人数B=14-6=8人
全人数は,6+A+B+C+D+5+3=6+24+6+5+3=44人

<2>(1)☆☆☆☆
2人の間の距離を縦軸に取る面府では読み取りに慣れていなくて違和感を感じる子どもが多いでしょう.2人の動きと位置関係を考え,必要であれば2人それぞれのA地点からの距離を縦軸に取る,よくあるタイプのグラフに直す手間を惜しんではいけません.もちろん,それには普段から「グラフをかく」ことの練習をしておくことが大事です.はじめから自分が利用できるグラフをうまくかける子どもなんて滅多にいませんから.また,以下の解説では使っていませんが,グラフに現れる三角形の相似を利用する手法はおさえておきたいところです.

アは花子さんが10分間で歩く距離.70*10=700m
太郎君の後半の速さは,330/6=55m/分
52分後からエまでで花子さんは太郎君より330m長く歩くから,
エ=52+330/(70-55)=74分後
ウから52分後までで花子さんは太郎君より225m長く歩くから,
ウ=52-225/(70-55)=37分後
太郎君が出発してから37分後までで太郎君が花子さんより長く歩く距離は,700+225=925m
前半の太郎君と花子さんの速さの差は925/37=25m/分
イ=700/25=28分後

(2)☆☆☆☆
花子さんがAからBまで歩くのにかかった時間は,10+74=84分
70*84=5880m

<3>(1)☆☆
BO:OD=△ABO:△DAO=△BCO:△CDO=5:6
△ABO=5cm^2より,△DAO=6cm^2

(2)☆☆
△ABC=5+20=25cm^2
△PQCは△ABCの2/3(△PBC)の1/3だから,25*2/3*1/3=50/9cm^2

(3)☆☆☆
△APD=△ABD*1/3=(5+6)*1/3=11/3cm^2
△PBC=△ABC*2/3=50/3cm^2
△PCD=四角形ABCD-(△APD+△PBC)=(5+6+20+24)-(11/3+50/3)=104/3cm^2
△PCR=△PCD*1/3=104/9cm^2
posted by カイト at 21:58| Comment(0) | TrackBack(0) | 2006年入試解説:甲陽 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

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