2006年02月12日

2006年度灘中入試解説6

親記事:2006年度灘中入試解答

第2日
<5> 錐体の体積の公式を注記するのは,関東にはない関西の学校の特徴ですね.実際のところ,受験生は当然暗記しているでしょうから形骸化しているものと思われますが,注記を載せ続けることに何か理由があるなら知りたいです.

(1)
切頭四角柱.3*3*(3+1)/2=18cm^3
※子どもの頃,(3+1)/2のことを「高さの平均」と勝手に呼んでいました.誤解を招きやすい変な表現だとは思うのですが,今でもその癖がなかなか抜けません.

(2)
まず,切り口の上側の三角錐台Bの体積を求める.
A(小さな三角錐)とA+B(大きな三角錐)の相似比は1:3
A=1*1/2*1.5/3=0.25cm^3
AとA+Bの体積比は1:27だから,BはAの26倍.
B=0.25*(3*3*3-1*1*1)=6.5cm^3
求める体積は,3*3*3-6.5=20.5cm^3

(3)
立体Cの体積を求める.
AとBは合同.A(小さな三角錐)とA+B+C(大きな三角錐)の相似比は2:5
A+B+C=5*5/2*3/3=12.5cm^3
AとA+B+Cの体積比は8:125だから,CはA+B+Cの(125-8*2)/125=109/125倍.
C=12.5*109/125=10.9cm^3

今年の灘の解説は以上です.次回は大阪星光の解答をアップする予定ですが…長期的にこのカテゴリをどう運営していくか,扱う学校や問題の選定などの方針について思案中です.もし何かリクエストがあれば,ちょっとしたことでも是非お伝えいただけると嬉しいです.メールや非公開コメントでも大歓迎です!
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2006年02月11日

2006年度灘中入試解説5

親記事:2006年度灘中入試解答

第2日
<3>
各図は,それぞれの直方体の中で球の通った部分.そのうち,薄黄色の部分の体積を求めればよい.

(1)
円柱.1*1*3.14*6=18.84cm^3


(2)
柱体.(1*1*3.14+2*6)*6=90.84cm^3


(3)
柱体.底面積は,8*8-(2*2-1*1*3.14)=63.14cm^2
体積は,63.14*6=378.84cm^3


※図では球の半径とそれ以外との長さの比率が正確ではないのですが,実際の体積を求めるのに支障はないので見逃してください.ちょうど3つの画像が完成したところで気が付き,そこで力尽きました….

<4>
この問題は第2日<2>に通じるところがあります.それは「ループ」を使って考える点です.

(1) 4*3*2*1=24通り

(2)
ゲームをしなくても,4つのボールの入れ方によって勝敗は既に決まっている.
問題文の例では,1の箱のボールを取り出すと3の箱へ,3の箱から4の箱へ,4の箱から1の箱へ戻るというループができている.一方,2の箱はそれ自体で1つのループとみなせる.このときのボールの入れ方を{1→3→4}{2}と表す.
A君とB君は最初にどの箱からボールを取り出しても,その箱が含まれるループをたどって箱を調べていき,ループを1周した時点でもう1人に交代することになる.1人につき1ループ消化するから,2つのループこの例では必ずB君が勝つ.

求めるボールの入れ方では,箱のループは1つしかないことになる.ループ内での4つの箱の並び方,つまり{1→a→b→c}のa,b,cに2,3,4を入れる場合の数を求めればいいから,3*2*1=6通り

(3)
B君が勝つということは,箱のループは2つか4つ.

ループが2つある場合は,{a}{b→c→d}の場合と{a→b}{c→d}の場合の2種類がある.

{a}{b→c→d}の場合:aに入れる番号は4通り.{b→c→d}のループ内での並び方は(2)と同様にして2*1=2通り 全体では,4*2=8通り

{a→b}{c→d}の場合:a=1としてよい.bに入れる番号は3通り.2つのループ内での並び方はともに1通り 全体では,3*1*1=3通り

ループが4つあるのは,{1}{2}{3}{4}の1通り.

したがって,全部では8+3+1=12通り
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2006年02月09日

2006年度灘中入試解説4

親記事:2006年度灘中入試解答

第2日
<1>(1)
A君の走行時間は,10時55分−7時−10分=225分
B君の走行時間は,10時40分−7時30分−10分=180分
速さの比はA:B=180:225=4:5

(2)
A君の休憩した時間帯をずらし,7時4分に出発したことにする.
B君がA君を追い越すまでの2人の走行時間の差を考える.
1) 追い越し前にB君が休憩しなかった場合
走行時間の差は,7時30分−7時4分=26分
2人の走行時間はA:B=5:4だから,
Aの走行時間は,26/(5-4)*5=130分
7時4分+130分=9時14分
2) 追い越し前にB君が休憩した場合
B君は最初に休憩して7時40分に出発したことにする.
走行時間の差は,7時40分−7時4分=36分
Aの走行時間は,36/(5-4)*5=180分
7時4分+180分=10時4分

<2>(1)
並べ替え規則は単純.1番は上から下に読めば1,2,3,…だが,左から右に読めば1,4,7,10,…となる.これを上から下へという方向に並べ直したものが2番.
同様に4番を5番に並び替えれば,上から下に読んで1,10,8,6,4,2,11,9,7,5,3,12という順になる.

(2)
1と12の位置は不動.
2の位置が1番からどう変わっていくかをみると,
2→3→5→9→6→11→10→8→4→7→2というループになっている.
このループには2から11までの全ての数が含まれているから,12枚のカードの並び全体としても10番周期になることがわかる.
したがって初めて1番と同じ並びになるのは1+10=11番.

(3)
2006/10=200…6より,2006番は6番と同じ並びになる.
(1)の5番の次だから,
上から下に読んで1,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,12の順になる.
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2006年02月08日

2006年度灘中入試解説3

親記事:2006年度灘中入試解答

第1日
<10>
(ア)は正六角形と正七角形の外角の差を求めればよい.
360/6-360/7=60/7
IJとFEの交点をLとする.五角形LJKAFについて,
∠LJK=∠JKA=900/7 ∠KAF=(ア)=60/7 ∠AFL=240
したがって,(イ)=540-(900/7*2+60/7+240)=240/7

<11>
AEとBCの交点をFとする.
△ACFと△EBFの相似比1:3よりCF:BF=1:3
BD=CFとなり,△ABDと△ACFは合同.
したがって,AD=AF=1/4AE=1/4*9=2.25cm

<12>
上側の図のように角の二等分線を延長し,その交点をRとする.
Rから△ABCの各辺に垂線を下ろす.
RからBCに下ろした垂線の足をI,PからBCに下ろした垂線の足をJとする.
すると,五角形AHPQKは下側の図のように等積移動できる.
(上の五角形を5つの部分にわけ,それぞれ下の同じ柄の部分に移動)
下側の図で,正方形の一辺と長方形の縦の長さ(内接円の半径)は
(18+24-30)/2=6cm
長方形の横の長さPQ=(18*24/2/2-6*6)/6=12cm
△RPQと△RBCの相似比は12:30=2:5
RI=6cmより,PJ=PH=6*(5-2)/5=3.6cm

<13>
切り取った二等辺三角形を2等分すると,斜辺以外が2cmと4cmの直角三角形になる.
四角すいを頂点(4つの側面が交わる点)と底面の正方形の対角線1本を含む平面で切断した断面の二等辺三角形を2等分する.
すると,底面の正方形は対角線が4cmだから,先程の直角三角形と合同になる.
したがって四角すいの高さは4cm.
(4*4/2)*4*1/3=32/3cm^3
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2006年02月05日

2006年度灘中入試解説2

親記事:2006年度灘中入試解答

第1日
<6>
商が2 35で割るなら100-104 40で割るなら100-119 →100-104の5個
商が3 35で割るなら105-139 40で割るなら120-159 →120-139の20個
商が4 35で割るなら140-174 40で割るなら160-199 →160-174の15個
商が5 35で割るなら175-209 40で割るなら200-239 →200-209の10個
商が6 35で割るなら210-244 40で割るなら240-279 →240-244の5個

全部で5+20+15+10+5=55個 最大は244

<7>
最短距離では図の区間C,E,G,Iでは各6cm,他では各3cm.
したがって,6*4+3*7=45cm

最短距離の道順はパスカルの三角形もどきによって求められる.

A      1
B     1 1
C    1 2 1
D   1 3 3  1
E  1 4 6  4  1
F 1 5 10 10  5 1
G  6 15 20 15 6
H   21 35 35 21
I    56 70 56
J    126 126
K     252

<8>
AO:OC=10:25=2:5
△ADOと△CBOの相似比は2:5となる.
台形ABCD=(10+25)*(2+5)/5=49cm^2

<9>
図1の場合は平行な面の目が(1,4)(2,5)(3,6)の3組なので,それぞれの大きい方の目をとり,4+5+6=15となる.
図2の場合は(1,2)(3,6)(4,5)の3組だから,2+6+5=13
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2006年02月04日

2006年度灘中入試解説1

親記事:2006年度灘中入試解答

解説
第1日
<1>
毎年その年の西暦を利用した問題はあちこちで出ますね.今年は2006=2*17*59という素因数分解しにくい数だったからか,解答が2006になる問題も含めると非常に多く出題されました.ちなみに来年は2007=3*3*223です.トリビアとして知っておくと出題された場合に少し気分が楽かもしれません.

<2>
24個の数を列挙すると,各位とも,1と3とXと9が均等に6個ずつ現れる.したがっての1,3,X,9の平均が5.
X=5*4-(1+3+9)=7

<3>
PとQの進んだ距離の差が10kmになるときを求める.
Pが歩いている間は毎時8km,歩いていない間は毎時12kmの速さで2人の進んだ距離は大きくなる.
1周期35分間で8*30/60+12*5/60=5kmの差がつくから,10km離れるのは2周期たったとき,つまり70分後.
Aからの距離は,12*70/60-10=4km

<4>
算国理の順に,XXX=0 OOO+OOX+OXO+OXX=35 OXX=2 XOO+XXO=4
XOO+XOX+XXO=40-35=5 XOX=5-4=1
AはXの総数が20と決まっていることに注目する.
OOO以外を最小にするためにXを2つつけた人数(OXX+XOX+XXO=3+XXO)を最大にする.
XOO+XXO=4よりXXOは最大4 そのときXを2つつけた人数は7
1問間違いは(20-2*7)/1=6となるから,
OOO=40-(7+6)=27

<5>
9の倍数だから,2+3+5+A+B=(18か27)
最小の場合を求めるので,万の位としてAを1とするとB=7
4の倍数だから下2桁を4の倍数になるようにすると最小値は13572
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2006年02月03日

2006年度灘中入試解答

東京出版のサイト内に中学入試速報2006として関西の今年の入試問題が掲載されています.首都圏で塾講師をしていると関西の中学入試情報はなかなか手に入らない,一方で首都圏に比べて関西は質の高い問題が多いという状況にあるので非常にありがたいです.そんなわけで早速灘中から解いてみました.各問題の解答をクリックすると解説・コメントに飛びます.

解答
第1日
<1> 81
<2> 7
<3>@ 70 A 4
<4>@ 1 A 27
<5> 13572

<6>@ 55 A 244
<7>@ 45 A 252
<8> 49
<9> 13

<10>@ 60/7 A 240/7
<11> 2.25
<12>@ 3.6 A 12
<13> 32/3

第2日
<1>(1) 4:5 (2) 午前9時14分と午前10時14分
<2>(1) 左列は上から1,10,8,6,4,2 右列は上から11,9,7,5,3,12 (2) 11 (3) 左列は上から1,11,10,9,8,7 右列は上から6,5,4,3,2,12

<3>(1) 18.84 (2) 90.84 (3) 378.84
<4>(1) 24 (2)6 (3) 12

<5>@ 18

A 20.5

B 10.9
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